Alku-ura ja nousu Toro Rossolle
Voitettuaan GP3-sarjan mestaruuden 2013 Kvjat nousi seuraavaksi kaudeksi Toro Rossolle. Nuori venäläinen säväytti jo ensimmäisessä kilpailussaan ajamalla pisteille. Hyvät otteet jatkuivat läpi vuoden, ja kaudeksi 2015 hänet nostettiin emotalli Red Bullille.
Vuodet Red Bullilla ja paluu Toro Rossolle
2015 sujui vielä kohtalaisesti. Kvjat ajoi toiseksi Unkarissa napaten täten parhaan venäläissijoituksen F1-sarjassa. Loppupisteissä hän oli edellä tallikaveriaan Daniel Ricciardoa.
Seurava vuosi alkoi yhdestä palkintokorokesijoituksesta huolimatta vaisusti, ja kolaroituaan Venäjän GP:ssä tiputti Red Bull Kvjatin takaisin Toro Rossolle. Tilalle nousi Max Verstappen, joka voitti ensimmäisen kisansa tallissa. Tämän jälkeen Kvjatin Red Bull -ura oli lopullisesti mennyttä.
Kvjatin itseluottamus mureni silmin nähden, ja lopulta loppukaudesta 2018 Toro Rosso antoi hänelle potkut F1-sarjasta. Kvjat siirtyi Ferrarin simulaattorikuljettajaksi, kunnes Toro Rosso kutsui hänet yllättäen takaisin kuljettajakseen kaudeksi 2019.
Kolmas yritys
Saatuaan uuden mahdollisuuden Kvjat ajoi onnistuneen kauden. Kirkkaimpana kruununa oli Saksan GP:n kolmossija. Sijalle 13 MM-pisteissä päätynyt venäläinen keräsi kauden aikana 37 MM-pistettä.